Matematik Her Yerde - Pizza Teoremi

Pizzanın da teoremi olur muymuş demeyin. Pizza teoremi ilk kez 1968’de “Mathematics Magazine” dergisinde ortaya atıldı. Teoremden önce kurguyu yapalım. Arkadaşınız ile evde yemek olmadığını fark ettiniz ve bir pizza sipariş ettiniz diyelim. Ancak arkadaşınızın pizzayı geleneksel dilimle biçimi dışına çıkarak, ortasından geçmeyen iki dikey kesim ile dilimledi. Sonra da dilimlerden büyük olanı almaya yeltendi. Size de bu durumda küçük dilimler kalacaktır size…

Öfkeyle bıçağı elinize aldınız ve mevcut iki dilimin kesişim noktasından geçen iki kesik daha attınız. Şimdi aşağıdaki şekilde de görebileceğiniz gibi hepside 45 derecelik açıya sahip 8 dilim var ortada. Bu son durumun ardından arkadaşınıza bir öneride bulunabilirsiniz: Büyük dilimi siz alırsınız ve ikiniz de saat yönünde ilerleyerek bir sonraki dilimi yemeye devam edebilir, ya da tam tersi büyük dilimi o alır ve aynı biçimde devam edebilir. Sizce kim daha çok yiyecektir bu durumda…

Pizza Teoremi​

Bu problem ilk kez 1968’de “Mathematics Magazine” dergisinde ortaya atıldı. Yayınlanan çözüm analitik olarak çeşitli alanları hesaplarken bir gerçeği açığa çıkardı. Bir fark yoktu, kim önce başlarsa başlasın sonuçta herkes eşit miktarda pizza yemiş oluyordu. İnsanların büyük çoğunluğu için hikâye burada biter. Ortada bir sorun vardır ve çözülmüştür. Ama matematikçiler için durum farklı elbette. 1994’te Larry Carter ve Stan Wagon yine “Mathematics Magazine” sayfalarında yeni bir eşitlik gösterdiler. Hatta aksine pizzanın uyumlu kısımlardan oluştuğu için tamamen aynı toplam alana sahip dört dilimlik iki grubun yer aldığı ek bir alt bölünmenin farklı bir çizimini göstererek bunu kanıtladılar.


Şimdi sıra genellemede. Pizzanın içinde herhangi bir nokta alalım, pizzayı aynı açı ile 2n dilime bölen noktadan geçen 2n kesim yapalım ve dilimleri en başta açıklandığı gibi iki gruba ayıralım.
Eğer pizza 4n parçaya bölünürse kişi sayısı n olduğu sürece eşit miktarda bir bölünme sağlanabilir. Bu durumda eğer üç kişi varsa pizza on iki dilime bölünür ve herkes memnun olacağı eşit miktarda dilime sahip olur.

Ayrıca pizza yani aslında bir daire rastgele bir noktadan eşit açılarla kesilerek 8, 12, 16… bölümlere ayrılırsa, alternatif dilimlerin alanlarının toplamı eşit olacaktır. Siz ve arkadaşınız alternatif pizza dilimlerini aldığınız sürece bu koşulları sağlayan bir pizzadan her daim eşit miktarda yemiş olabilirsiniz.