Kendisinden ve 1’den başka böleni bulunmayan asal sayıların sonsuz olduğunu duymuşsunuzdur. Peki sonsuz tane asal sayı olduğunu nasıl biliyoruz?
Tüm asal sayıları tek tek sayamayacağımıza göre sonsuz tane asal sayı olduğunu göstermenin tek yolu onu ispat edebilmektir. Bu yazımızda asal sayıların sonsuz olduğunun ispatını birlikte yapacağız.
1’den büyük her doğal sayının bir veya daha fazla asal sayının çarpımı şeklinde yazılabileceğini biliyoruz. Bu ifade aslında “aritmetiğin temel teoremi” olarak bilinir. İspatımızda bu teoremi kullanacağız.
Önerme: Sonsuz tane asal sayı vardır.
İspat: Asalların sayıca sonlu olduğunu kabul edelim ve bu asal sayıları P1, P2, P3, … , Ps , … , Pr ile gösterelim. En büyük asal sayımız Pr, asal sayılarımız arasındaki ilişkiyse P1 < P2 < P 3 < … < Ps < … < Pr şeklinde olsun. Örneğin P1=2, P2=3, P3=5, …
Tüm asalların çarpımı ile oluşturduğumuz sayıya N sayısı diyelim: N = P1·P2·P3· … ·Ps· … ·Pr.
N sayısından 1 eksilterek oluşturduğumuz (N-1) sayısı, aritmetiğin temel teoremi gereği, bir veya daha fazla asal sayının çarpımına eşittir. Bu durumda (N-1) sayısı, sonlu tane olan asal sayılarımızdan (P1, P2, P3, … , Ps, … , Pr) en az biri ile tam bölünür. Farz edelim ki Ps asal sayısı (N-1)’i tam böler.
N sayısı tüm asal sayıların çarpımından oluştuğu için Ps asal sayısı, N sayısını da kalansız olarak böler. Çünkü Ps asal sayısı, N sayısının çarpanlarından biridir.
Ps asal sayısı hem N sayısını hem de (N-1) sayısını böldüğü için (N-(N-1)) sayısını da böler. (Bu önermenin doğruluğundan şüphe ediyorsanız yazının sonundaki ispatı inceleyebilirsiniz.) Fakat (N-(N-1)) sayısı aslında 1’e eşittir ve Ps asal sayısının 1’i bölebileceği sonucu yanlıştır. Çünkü 1 sayısının kendisinden başka böleni yoktur.
O hâlde ispatta bir şeyler yanlış gitmiştir. Fakat ispatın ilk cümlesindeki “asalların sayıca sonlu olduğu” varsayımından sonraki tüm satırlar mantıksal olarak doğrudur. Bu nedenle aslında ilk cümle doğru değildir. Sonuç olarak, asal sayıların sonlu olduğunu kabul etmek yanlıştır, asal sayılar sonsuzdur.
İspatımıza sonsuz tane asal sayı bulunduğunu göstermek için bu önermenin yanlış olduğunu kabul ederek başladık ve bu fikrin bir çelişkiye yol açtığını gösterdik. Burada kullandığımız ispat yöntemi matematikte ‘’olmayana ergi yöntemiyle ispat’’ veya ‘’çelişki ile ispat’’ olarak isimlendirilir.
Önerme: a, b, c ∈ ℤ+ (b>c) olmak üzere, eğer a sayısı hem b sayısını hem de c sayısını bölüyorsa (b-c) sayısını da böler.
İspat: a sayısı hem b hem de c sayılarını böldüğü için b=a·g ve c=a·h olacak şekilde g, h pozitif tam sayıları bulunur. Yani g, h ∈ ℤ+. (b-c) sayısı yerine yukarıda b ve c için elde ettiğimiz eşitlikleri kullanırsak, (b-c)=a·g-a·h=a·(g-h) şeklinde yazabiliriz. Sonuç olarak, a sayısı (b-c) sayısının bir çarpanıdır yani a sayısı (b-c) sayısını böler.
Tüm asal sayıları tek tek sayamayacağımıza göre sonsuz tane asal sayı olduğunu göstermenin tek yolu onu ispat edebilmektir. Bu yazımızda asal sayıların sonsuz olduğunun ispatını birlikte yapacağız.
1’den büyük her doğal sayının bir veya daha fazla asal sayının çarpımı şeklinde yazılabileceğini biliyoruz. Bu ifade aslında “aritmetiğin temel teoremi” olarak bilinir. İspatımızda bu teoremi kullanacağız.
Önerme: Sonsuz tane asal sayı vardır.
İspat: Asalların sayıca sonlu olduğunu kabul edelim ve bu asal sayıları P1, P2, P3, … , Ps , … , Pr ile gösterelim. En büyük asal sayımız Pr, asal sayılarımız arasındaki ilişkiyse P1 < P2 < P 3 < … < Ps < … < Pr şeklinde olsun. Örneğin P1=2, P2=3, P3=5, …
Tüm asalların çarpımı ile oluşturduğumuz sayıya N sayısı diyelim: N = P1·P2·P3· … ·Ps· … ·Pr.
N sayısından 1 eksilterek oluşturduğumuz (N-1) sayısı, aritmetiğin temel teoremi gereği, bir veya daha fazla asal sayının çarpımına eşittir. Bu durumda (N-1) sayısı, sonlu tane olan asal sayılarımızdan (P1, P2, P3, … , Ps, … , Pr) en az biri ile tam bölünür. Farz edelim ki Ps asal sayısı (N-1)’i tam böler.
N sayısı tüm asal sayıların çarpımından oluştuğu için Ps asal sayısı, N sayısını da kalansız olarak böler. Çünkü Ps asal sayısı, N sayısının çarpanlarından biridir.
Ps asal sayısı hem N sayısını hem de (N-1) sayısını böldüğü için (N-(N-1)) sayısını da böler. (Bu önermenin doğruluğundan şüphe ediyorsanız yazının sonundaki ispatı inceleyebilirsiniz.) Fakat (N-(N-1)) sayısı aslında 1’e eşittir ve Ps asal sayısının 1’i bölebileceği sonucu yanlıştır. Çünkü 1 sayısının kendisinden başka böleni yoktur.
O hâlde ispatta bir şeyler yanlış gitmiştir. Fakat ispatın ilk cümlesindeki “asalların sayıca sonlu olduğu” varsayımından sonraki tüm satırlar mantıksal olarak doğrudur. Bu nedenle aslında ilk cümle doğru değildir. Sonuç olarak, asal sayıların sonlu olduğunu kabul etmek yanlıştır, asal sayılar sonsuzdur.
Önerme: a, b, c ∈ ℤ+ (b>c) olmak üzere, eğer a sayısı hem b sayısını hem de c sayısını bölüyorsa (b-c) sayısını da böler.
İspat: a sayısı hem b hem de c sayılarını böldüğü için b=a·g ve c=a·h olacak şekilde g, h pozitif tam sayıları bulunur. Yani g, h ∈ ℤ+. (b-c) sayısı yerine yukarıda b ve c için elde ettiğimiz eşitlikleri kullanırsak, (b-c)=a·g-a·h=a·(g-h) şeklinde yazabiliriz. Sonuç olarak, a sayısı (b-c) sayısının bir çarpanıdır yani a sayısı (b-c) sayısını böler.
